/*## 本文件，不能删除全行，不能在已经有的行上面加行。只能在末尾前一行加行。否则号全乱了。Note also that double space has a splitting function
数列元素可列多个
数列可取出子列
There is a real/rational between two reals
0 iff it < all epsilons
有界指的是sup和inf全是实数
有界iff sup<c0 iff sup < infty  简单证明 2 6 4
数集元素越多，则sup越大
有界数列的子列，仍有界  一个简单的证明 2 8 6  另一个证明思路（反证） 2 8 6
实函数convex则有三点差分关系
极限保序性
单调有界在R中有极限
Rudin4.2
实函数convex则有单边导数  用两次三点差分来证明 2 10 12  反设某单无右导数，则存在两个minimizing差分列必ev.有严格大小分隔关系，这与三点差分列单调矛盾 1 10 
实函数convex则x<y必x右导数<=y的左导数  实际用四点差分来证明 2 10 11
实函数convex的单边导数递增  极限和三点差分 2 11 10
单调实函数只能最多可列个不连续点
实函数convex则每点左导数<=右导数  完全是三点差分证明 2 10 11
实函数convex不可导的点，至多可列个  证明的技巧很强 3 17 11 18
实函数convex则在开区间上Lip  实际上很简单 1 10
inf实例化策略
convex iff epif convex
convex set的距离函数仍convex  基于分析技巧来证明 2 5 21  差一个几何的证明 1 22
convex sets任意交仍convex
convex f has convex lower level sets  代数强力证明不如几何直观，因为半平面是convex! 2 22 24 
sup preserves convexity  几何证明的力量很大，尽管代数也可以证明 2 22 24
convex set增加R一维仍convex
convex set降维投影仍convex
convex o affine preserves convexity  几何证明它 4 22 24 27 28
f is lsc iff it is closed iff epi closed
lsc f has lower bound on compact sets
liminf 的minimizing实例化策略
让f(0)=0的假设什么时候是wlog
proper convex f having bounded lower level sets must liminf f(x)/||x||> 0  反证法，注意一下0和xn的convex组合 2 32 33
Rn上convex则局部有界iff局部Lip  简单技巧 1 33
f* is convex  这个是信息压缩手法，即f*一点的信息就会决定f的整体性质 1 26
哈哈定理
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